bon anniversaire à René Descartes

bon anniversaire à René Descartes

La méthode de Descartes

René Descartes (31 mars 1596–1650) est désormais surtout connu pour ses travaux en philosophie, mais a également apporté quelques contributions aux mathématiques (on parle par exemple de « repère cartésien »), à la physique (loi de Snell-Descartes en optique) et à la médecine (Descartes donna une description correcte des connexions nerveuses des yeux au cerveau). Issu d’un milieu aisé, il reçoit une bonne éducation dans un collège jésuite et y étudie les textes classiques grecs, donc Aristote, Euclide, Archimède et Apollonius, ainsi que les traités de calcul arithmétique de Christopher Clavius, un pédagogue renommé des années 1600–1620. Descartes semble séduit dès cette époque par le caractère sûr de la démarche mathématique. Racontant sa jeunesse au début de son Discours de la Méthode (1637), il écrit : Je me plaisois surtout aux mathématiques, à cause de la certitude et de l’évidence de leurs raisons : mais je ne remarquois point encore leur vrai usage ; et, pensant qu’elles ne servoient qu’aux arts mécaniques, je m’étonnois de ce que leurs fondements étant si fermes et si solides, on n’avoit rien bâti dessus de plus relevé.

Après avoir voyagé en Europe, Descartes décide en 1628 de s’installer aux Pays-Bas. Sa fortune personnelle lui permet de ne pas exercer de métier. Il entame alors des recherches scientifiques. Vers 1635, il rédige quelques-uns de ses résultats. Descartes est particulièrement fier de la méthode qu’il a suivi, dont il pense qu’elle lui a permis de rendre ses idées claires et justes. Il la met en avant dans son ouvrage, qu’il intitule Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences, et relègue ses idées scientifiques dans trois « appendices » intitulés La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie, appendices qui constituent en fait le plus gros de l’ouvrage. Descartes, dont l’ambition est de faire avancer la philosophie aussi bien que les sciences, espère que ces trois appendices seront appréciés par leurs lecteurs et assureront la publicité de sa méthode. Il écrit ainsi dans une lettre : J’ai essayé dans ma Dioptrique et mes Météores de montrer que ma Méthode est meilleure que l’ordinaire, et dans ma Géométrie, je l’ai démontré.

La Géométrie de René Descartes

Nous avons vu au début de ce chapitre (paragraphe 7.2.1) que Descartes pensait que les traités des anciens Grecs ne reflétaient pas leur manière de faire des mathématiques et qu’il serait souhaitable de retrouver leurs « vraies mathématiques ». Dans la suite du texte que nous avions cité (Règles pour la direction de l’esprit, appendice à la règle IV), Descartes trouve pertinente l’idée que l’algèbre, convenablement reformulée, peut servir de substitut à ces vraies mathématiques : Finalement, il y a eu quelques hommes les plus habiles, qui se sont efforcés dans ce siècle de faire ressusciter [les vraies mathématiques] : car cela semble ne pas être autre chose que cet art, qui est appelé par le nom barbare d’Algèbre, si l’on pouvait le dégager de la multitude des nombres et des figures inexplicables qui l’obscurcissent, de sorte qu’il ne lui manque plus l’évidence et la simplicité que nous supposons devoir être dans la vraie mathématique. Neuf ans plus tard, Descartes répète sa pensée dans la seconde partie du Discours de la Méthode : J’avois un peu étudié, étant plus jeune, entre les parties de la philosophie, à la logique, et, entre les mathématiques, à l’analyse des géomètres et à l’algèbre, trois arts ou sciences qui sembloient devoir contribuer quelque chose à mon dessein. Mais, en les examinant, je pris garde que, pour la logique, ses syllogismes et la plupart de ses autres instructions servent plutôt à expliquer à autrui les choses qu’on sait (…) qu’à les apprendre. Puis, pour l’analyse des anciens et l’algèbre des modernes, outre qu’elles ne s’étendent qu’à des matières fort abstraites, et qui ne semblent d’aucun usage, la première est toujours si astreinte à la considération des figures, qu’elle ne peut exercer l’entendement sans fatiguer beaucoup l’imagination ; et on s’est tellement assujetti en la dernière à certaines règles et à certains chiffres, qu’on en a fait un art confus et obscur qui embarrasse l’esprit, au lieu d’une science qui le cultive. Descartes s’assigne donc trois tâches : trouver une méthode qui permette de faire des découvertes mathématiques (au contraire de la logique qui ne sert qu’« à expliquer à autrui les choses qu’on sait ») ; clarifier la géométrie à l’aide de l’algèbre afin de ne plus être dépendant des figures ; débarrasser l’algèbre des nombres qui l’encombrent.

La mathématique Pythagoricienne

Si, pour le grand public, l’héritage mathématique de Pythagore est associé au théorème de l’hypoténuse qui a emprunté son nom, bien qu’il ait été connu longtemps avant Pythagore, pour les pythagoriciens, cet héritage consiste, principalement, en quatre notions mathématiques, notions qui ne sont pas seulement des théories, mais des idées mathématiques au sens le plus fort, incluant chacune une variété indéfinie de théories. Ces notions fondamentales sont : la tétractysles médiétésle gnomon et les solides réguliers.

Parmi ces quatre notions, la première, la tétractys, a en outre la propriété de contenir les trois qui la suivent. C’est à relier ces notions par le chemin mathématique le plus court que sera consacré cet exposé.

La mathématique pythagoricienne est une mathématique élémentaire, dans les deux sens que revêt ce mot. D’une part, elle ne comporte rien de très difficile, rien qui soit hors d’atteinte d’un lecteur cultivé ; – et, pour ce qui concerne notre exposé, ceux qui seraient rebutés par les démonstrations pourront, sans inconvénient pour la suite, laisser de côté les articles 6 et 7 de la première section, où se trouve concentrée la seule partie démonstrative de ce texte. D’autre part, la mathématique pythagoricienne est élémentaire en ce qu’elle porte sur les principes, les éléments premiers de la mathématique, qu’elle se propose de définir et de fonder à partir d’une seule pensée originaire.

Cette mathématique est donc une réflexion sur le concept général de la science, qui s’attache à définir ce qui est premier dans chacun des domaines où celle-ci peut s’exercer. Par ce côté, son propos aura peut-être plus de chance d’intéresser le philosophe ou l’épistémologue, que le mathématicien spécialisé, installé dans ses habitudes modernes.

Il ne sera presque jamais question, ici, des débats contemporains relatifs à l’histoire du pythagorisme. En l’absence de tout document sur le savoir de Pythagore, les historiens se trouvent réduits à des suppositions purement conjecturales. De plus, la plupart sont dominés, voire possédés, par le préjugé moderne que la science a toujours évolué par une progression graduée. Le plus ancien traité de mathématique connu étant les Eléments d’Euclide, ils sont conduits à supposer toute une série de « progrès » de Pythagore à Platon, à Aristote ou à Euclide ; alors même que ce qui s’est produit durant cette période est exactement le contraire, savoir, une série de régressions sans équivalent dans l’histoire de la pensée, véritables catastrophes intellectuelles qui ont abouti à ce que la science, dont les principes s’étaient dévoilés dans toute leur pureté dans la pensée d’un homme, s’est retrouvé enfouie et emprisonnée pendant deux millénaires.

Abandon de la doctrine du nombre naturel au profit du nombre « idéal » (Platon) ; abandon de la logique mathématique au profit de la logique langagière, abandon de la physique mathématique au profit d’une physique purement empirique, abandon de la cosmologie héliocentrique au profit du géocentrisme (Aristote) ; enfin, abandon de la primauté du nombre sur la figure (Euclide) : tels sont les principaux « progrès » survenus entre l’époque de Pythagore et celle qu’on a coutume de considérer comme l’âge d’or de la pensée grecque.

A la fin du XIXe siècle, certains historiens ont cru reconnaître dans la mathématique pythagoricienne des conceptions ressemblantes à celles de la mathématique moderne; et ils ont forgé l’expression d’ « algèbre géométrique » pour caractériser cet ensemble de spéculations, situées à l’interface entre la théorie du nombre et la géométrie, sans s’apercevoir que le domaine défini par ces spéculations était celui de la logique mathématique, dont l’objet est de traiter, précisément, des structures communes à ces deux sciences : arithmétique et géométrie.

Alors, plutôt que d’entrer dans les vues de ces historiens autoproclamés, qui ne sont en réalité que de modernes mythographes, et qui, à force d’enfermement dans la méthode critique, de refus de la tradition pythagoricienne, ont tendu de plus en plus à déposséder Pythagore de toute pensée originale, on se fiera plutôt au sentiment de ceux qui furent les restaurateurs de la science, les Copernic, Kepler, Newton, tous pythagoriciens fervents*, et qui étaient pleinement conscients de renouer avec ce fil ancien de la pensée.

*Avec son mépris ou son indifférence pour les « mathématiques pures » (autres qu’appliquées aux problèmes physiques),  et sa robuste philosophie de marchand de lunettes, l’anti-pythagoricien Galilée demeure, il est vrai, le père de la science « positive » et technicienne; cette science qui a libéré l’homme du souci de la connaissance absolue, en acceptant de limiter son intelligence à la seule distinction de « ce qui marche » et « ce qui ne marche pas ».

Extract : A Short History of Mathematical Notation by Robyn Arianrhod

Robyn Arianrhod is a writer and mathematician (she is Adjunct Research Fellow in the School of Mathematical Sciences, Monash University).
Her first book, Einstein’s Heroes: Imagining the world through the language of mathematics, was published by UQP in 2003. It has since been published in the UK and the US, and has been translated into French, Japanese, Korean and Turkish. It was shortlisted for the Age Non-Fiction Book of the Year and the Victorian Premier’s Prize for a first book of history.

It is easy to forget, with our four centuries of post-Cartesian hindsight, that for thousands of years arithmetic and algebra were done rhetorically or geometrically, without the benefit of our familiar x’s and y’s, our pluses, minuses, square root signs, indices, and other symbols. These symbols make algebraic processes so transparent, so universal, and so easily generalized that mathematical thought becomes simpler and more economical.

This simplicity is possible because mathematical symbols can « evoke subliminal, sharpy, focused perceptions and connections », as Joseph Mazur puts it his entertaining and insightful new book. « Just as with the symbolism in music and poetry, these mathematical symbols might also transfer metaphorical thoughts capable of such tranferences as words on a page. In a reading an algebraic expression, the experienced mathematical mind leaps through similarity short neuro transmitter lag times.

Thinking about the history of mathematics in terms of the history of symbolic mathematical notation offers an interesting perspective on the dramatic increase in mathematical progress from the seventeenth century onwards. It also makes us wonder how ancient mathematicians made as much progress as they did without an internalized, subconscious symbolic language to aid their thinking. Enlightening Symbols offers food for thought on both these themes : the history of mathematics and symbolic cognition.

References : A. Einstein, The foundation of the general theory of relativity, Einstein’s paper was originally published in German in Annalen der Physik,49 (1916).

Jean Charles de Borda (Dax, 1733 -París, 1799), Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia

Nació en el seno de una familia noble y tuvo quince hermanos. Su primo Jacques-François, quince años mayor, le transmitió desde muy pronto el amor por las ciencias, en especial por las matemáticas, y se ocupó a la vez de que asistiera a colegios dedicados a la enseñanza de las ciencias. Borda no dudó en estudiar la carrera de matemáticas. A sus veinte años vio la luz su primer tratado de geometría y fue también elegido socio de la Academia de Ciencias de París, para la que escribió una memoria sobre la teoría de proyectiles.
A partir de 1758, fijó sus ojos en el mar y hacia él dirigió definitivamente su interés científico. Sus investigaciones matemáticas fueron granjeándose un éxito creciente, así como sus contribuciones a la mecánica de fluidos y a la física de ruedas hidráulicas y de bombas. Entre 1765 y 1775 cruzó varias veces el Atlántico, combinando puntos de vista naturalistas y militares en sus investigaciones sobre hidrografía y cartografía.
Como comisario de la Academia de Ciencias, Borda embarcó en 1771 en la fragata La Flore, cuyo objetivo fue ensayar métodos de cálculo de longitudes y probar algunos relojes marinos. Le acompañabanVerdun de la Crenne, los astrónomos P. Pingré y Mersais y el dibujante Ozanne. A bordo iban varios tipos de relojes ingleses y franceses, octantes, sextantes y una caja marina de Fyot. Esta fue la cuarta y última expedición organizada para hallar la mejor manera de medir el tiempo en el mar. Le habían precedido las de Courtanvaux en 1767, la de Cassini en 1768 y la de Fleurieu en 1768-1769. Los resultados de La Flore resultaron verdaderamente provechosos para el ensayo de los cronómetros marinos y para los estudios de hidrografía. La Floreau
Borda regresó a Canarias en 1776 comandando La Boussole, que había zarpado acompañada de L’Espiègle. Continuó con las mediciones de las islas y del Teide empezadas unos años atrás a bordo de La Flore. Su intención era fijar de manera exacta la posición de Canarias y mejorar la cartografía existente hasta ese momento. En su diario sobre este viaje, Borda escribió: « La medición del Pico de Tenerife no era un objeto de pura curiosidad para nosotros, pues dependía esencialmente de nuestro trabajo náutico. Nos era indispensable conocer la elevación exacta de ese volcán, para sacar partido de las observaciones de la altura aparente que habíamos hecho en varios puntos de las islas de Tenerife, Gomera y Canaria, que habían de servir para fijar las longitudes y latitudes de estos puntos. » (Traducción de A. Herrera Piqué, Las Islas Canarias, escala científica en el Atlántico. Viajeros y naturalistas en el siglo XVIII, 84-7207-046-2)
Uno de los mayores logros científicos de Borda a partir de estos años fue la puesta en práctica del cálculo diferencial y el desarrollo de tablas trigonométricas aplicadas a la división centesimal del cuadrante y a los mecanismos que iba desarrollando. Trabajó en la mecánica del flujo de fluidos en barcos, artillería, bombas e instrumentos científicos. En 1785 obtuvo gran éxito con el círculo repetidor para medir el arco de un meridiano como parte de un proyecto para introducir un sistema decimal de pesos y medidas. Dos años más tarde publicó un estudio sobre el círculo de reflexión, sin duda el instrumento que le catapultó a la fama.
En 1767 fue nombrado miembro electo de la Academia de Burdeos y dos años después de la Academia de Marina. En 1783 asumió la dirección de la Escuela Naval de París y a partir de 1795 formó parte del Instituto Nacional.

OBRA GENERAL

  • Résumé des opérations de la campagne de la Boussole pour déterminer les positions géographiques des côtes d’Espagne et de Portugal sur l’Océan, d’une partie de les côtes occidentales de l’Afrique et des îles Canaries . 1776 (manuscrito), 190 pp.
  • Description et usages du cercle de réflexion avec différentes méthodes pour calculer les observations nautiques, 1787.
  • Mémoire sur la courbe décrite par les boulets et les bombes en ayant égard à la résistance de l’air , 1846.
  • Tables trigonométriques décimales, ou Tables des logarithmes des sinus, sécantes et tangentes, suivant la division du quart de cercle en 100 degrés, du degré en 100 minutes et de la minute en 100 secondes, précédées de la table des logarithmes

OBRA ALUSIVA A CANARIAS

  • Borda, Pingré, Verdun de la Crenne, Voyage fait par ordre du Roi en 1771 et 1772, en diverses parties de l’Europe, de l’Afrique et de l’Amérique; pour vérifier l’utilité de plusieurs Méthodes & Instruments, servant à déterminer la Latitude & la Longitude, tant du Vaisseau que des Côtes, Isles & Écueils qu’on reconnoît: suivi de recherches pour rectifier les cartes hydrographiques, par M. de Verdun de la Crenne, Lieutennant des Vaisseaux du Roi, commandant la Frégate la Flore; de la Académie de Marine établie à Brest; le Chevalier de Borda, Lieutenent des Vaisseaux du Roi; de l’Academie Royale des Sciences & de celle de Marine; et Pingré, Chancelier de St-Geneviève et de l’Université de Paris; Astronome-Géographe de la Marine, de l’Académie Royale des Sciences et de celle de Marine, Paris, Imp. Royale, 1778.

      La obra presenta cuatro partes: 1) Diario de la espedición 2) Métodos de observación en el mar 3) Determinaciones hidrográficas realizadas durante el viaje 4) Los relojes marinos y otros instrumentos destinados al uso de la navegación.

source:

http://fundacionorotava.org/web_fcohc/002_proyectos/bachillerato/expediciones

/borda.html

Les pythagoriciens sont différents des Milésiens dans la Grande Grèce

Vérité et Réalité pythagore

Titre de Nathalie Lacladère. Texte : Extrait de Geoffrey E.R Lloyed. Geoffrey E.R Lloyed est professeur d’histoire de la philosophie et des sciences à l’université de Cambridge. Il est actuellement Master de Darwin Collège.

On désigne collectivement, sous le nom de philosophes présocratiques, les penseurs et théoriciens des VIè et Vè siècles ; mais le fait que nous appliquions le même terme de « philosophe » à tous ces personnages ne saurait excuser l’oubli des différences importantes qui les séparent. Leurs objectifs et leurs préoccupations étaient très différents, et leur rôle social lui-même était très différent. Il existe plusieurs contrastes frappants entre les Milésiens et les penseurs que nous avons maintenant à considérer, ceux que l’on appelle les pythagoriciens ; et les pythagoriciens eux-mêmes étaient loin de constituer un groupe homogène. Nous avons très peu d’informations sûres concernant Pythagore lui-même.

On nous apprend qu’il était né à Samos quelque temps avant le milieu du VIè siècle, et qu’il se fixa plus tard à Crotone, en Grande Grèce, pour échapper à la tyrannie qu’à Samos exerçait Polycrate. Les disciples de Pythagore avaient tendance, par piété envers le fondateur de leur secte, à lui attribuer leurs propres idées, et lorsque nos sources tardives en font autant, nous devons les manier avec précaution. Toutefois, nous savons de bonne source que Pythagore s’était fait le maître d’un mode de vie, car c’est ce que Platon nous dit dans La république (600 a-b). Les premiers pythagoriciens ne s’intéressaient pas seulement, ni même principalement, aux recherches concernant la nature ; ils constituaient un groupe uni par des croyances et par des pratiques religieuses. Ainsi, ils croyaient à l’immortalité et à la transmission des âmes, et ils pratiquaient certaines abstentions rituelles, par exemple à l’égard de certaines catégories d’aliments.

De plus, ils jouèrent de concert le rôle d’une force politique dans plusieurs cités de la Grande Grèce à la fin du Viè siècle. A cette différence qui sépare les pythagoriciens des Milésiens s’en ajoute une autre, qui porte sur le type de théorie cosmologique qu’édifièrent certains d’entre eux. Tandis qu’Aristote présente les Milésiens comme des penseurs qui spéculent sur la « cause matérielle » des choses, voici ce qu’il a à nous dire sur les doctrines principales des pythagoriciens (comme le montrent ses premiers mots, il se réfère ici à des pythagoriciens du Vè siècle, plutôt qu’aux contemporains de Pythagore lui-même) : « A la même époque que ses philosophes et antérieurement à eux, ceux que l’on appelle les pythagoriciens, et qui furent les premiers à s’engager sur la voie des mathématiques, firent progresser cette discipline ; leur familiarité avec elle les conduisit à penser que ses principes étaient les principes de toutes choses. Mais, parmi ces principes, les nombres sont par nature les premiers, et ils crurent apercevoir dans les nombres beaucoup de traits de ressemblance avec les choses qui sont et qui viennent à être, plus que dans le feu, la terre et l’eau ; en outre, ils découvrirent que les modifications et les rapports des gammes musicales pouvaient s’exprimer numériquement. Aussi, puisque toutes les autres choses paraissent modelées, en leur nature tout entière, sur les nombres, et que les nombres paraissent être les réalités premières dans l’ensemble de la nature, ils supposèrent que les éléments des nombres étaient les éléments de toutes choses, et que le ciel tout entier était une gamme musicale et un nombre. »

Selon Aristote, ces pythagoriciens trouvaient dans les nombres les principes de toutes choses. Alors que les Milésiens avaient choisi comme réalités primordiales des substances matérielles car l’illimité d’Anaximandre est lui aussi matériel, tout autant que l’eau de Thalès ou l’air d’Anaximène.

Les pythagoriciens, peut-on dire, concentraient leur attention sur l’aspect formel des phénomènes. Qu’ils aient été ou non les premiers à reconnaître les rapports numériques des harmonies musicales, cette découverte leur a certainement fourni l’un de leurs principaux exemples pour illustrer le rôle du nombre. Les intervalles d’octave, de quinte et de quarte pouvaient tous s’exprimer en termes de rapports numériques simples. Les pythagoriciens pensèrent que si ce principe s’appliquait aux intervalles musicaux, il pourrait bien être également valable pour d’autres choses, pour peu que l’on pût découvrir leurs relations mathématiques.

L’importance de cette recherche des nombres dans les choses saute aux yeux. Les pythagoriciens prennent ainsi rang de premiers théoriciens à avoir tenté, de propos délibéré de donner à la connaissance de la nature un fondement quantitatif, mathématique.Ce trait les met au point de départ de ce qui allait être pour la science un développement de la plus haute importance.